Tugas 1

 B. RUMUS TREGONOMETRI JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :

sin (90° - θ) = cos θ

cos (90° - θ) = sin θ

sin (180° - θ) = cos θ

cos (180° - θ) = -sin θ

sin (-θ) = -sin θ

cos (-θ) = cos θ

sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.

∠ POS = α + β

∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α

Dari segitiga OPS diperoleh

sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis

PS = QT + PR, akibatnya

sin (α + β) = QT + PR .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh

PQ = sin β

OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh

sin α = QT per OQ

QT = sin α . OQ

QT = sin α . cos β ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh

cos α = PR per PQ

PR = cos α . PQ

PR = cos α . sin β ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan

sin (α + β) = QT + PR

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka

sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Contoh 1!! 

Tentukan nilai eksak dari sin 75°

Jawab :

sin 75° = sin (30° + 45°)

sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2

sin 75° = ¼√2 + ¼√6

sin 75° = ¼(√2 + √6)

cos (α + β) dan cos (α - β)

Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) dapat kita tentukan dengan cara yang hampir sama seperti rumus sinus diatas. Namun, karena rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih mudah jika kita gunakan konsep sudut relasi kuadran I.

cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β


Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β 

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh 2
Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)

Kesimpulan

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β